Matematisk induktion er en deduktiv metode, der bruges til at bevise sande eller falske udsagn.
Du skal have studeret matematikinduktion i gymnasiet. Som vi ved, er matematisk induktion en udvidelse af matematisk logik.
I sin anvendelse bruges matematisk logik til at studere udsagn, der har falske eller sande værdier, ækvivalenter eller negation og drage konklusioner.
Basale koncepter
Matematisk induktion er en deduktiv metode, der bruges til at bevise sande eller falske udsagn.
I processen drages konklusioner baseret på gyldigheden af de almindeligt accepterede udsagn, så specifikke udsagn også kan være sande. Derudover betragtes en variabel i matematisk induktion også som medlem af sættet med naturlige tal.
Dybest set er der tre trin i matematisk induktion for at bevise, om en formel eller udsagn kan være sand eller omvendt.
Disse trin er:
- Bevis, at en sætning eller formel er sand for n = 1.
- Antag, at en sætning eller formel er sand for n = k.
- Bevis at en sætning eller formel er sand for n = k + 1.
Fra ovenstående trin kan vi antage, at en erklæring skal kunne kontrolleres for n = k og n = k + 1.
Typer af matematisk induktion
Der er forskellige slags matematiske problemer, der kan løses gennem matematisk induktion. Derfor kan matematisk induktion opdeles i tre typer, nemlig serie, opdeling og ulighed.
1. Serie
I denne type serier findes normalt det matematiske induktionsproblem i form af successiv tilføjelse.
Så i serieproblemet skal sandheden bevises i den første sigt, k-sigt og th-sigt (k + 1).
2. Division
Typerne af divisionsmatematikinduktion kan findes i forskellige problemer, der bruger følgende sætninger:
- a kan deles med b
- b faktor af a
- b deler a
- a multipler b
Disse fire funktioner indikerer, at udsagnet kan løses ved hjælp af matematisk induktion af divisionstype.
Ting at huske er, hvis nummer a er deleligt med b, så a = b.m hvor m er et heltal.
3. Uligheder
Den ulighedstype er angivet med et tegn, der er mere end eller mindre end i udsagnet.
Der er egenskaber, der ofte bruges til at løse matematiske induktionstyper af uligheder. Disse egenskaber er:
- a> b> c ⇒ a> c eller a <b <c ⇒ a <c
- -en 0 ⇒ ac <bc eller a> b og c> 0 ⇒ ac> bc
- a <b ⇒ a + c <b + c eller a> b ⇒ a + c> b + c
Eksempler på matematiske induktionsproblemer
Følgende er et eksempel på et problem, så du bedre kan forstå, hvordan du løser en formelsikker ved hjælp af matematisk induktion.
Række
Eksempel 1
Bevis 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1) for hvert n naturlige tal.
Svar:
P (n): 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n (n + 1)
Det vil blive bevist, at n = (n) er sandt for hver n ∈ N
Det første skridt :
Det vil blive vist, at n = (1) er korrekt
2 = 1(1 + 1)
Så P (1) er korrekt
Andet trin :
Antag, at n = (k) er sand, dvs.
2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1), k ∈ N
Tredje trin
Det vil blive vist, at n = (k + 1) også er sand, dvs.
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
Fra antagelserne:
2 + 4 + 6 + ... + 2k = k (k + 1)
Tilføj begge sider med uk + 1 :
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = k (k + 1) + 2 (k + 1)
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 2)
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
Så n = (k + 1) er korrekt
Eksempel 2
Brug matematisk induktion til at bevise ligninger
Sn = 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2n-1) = n2 for alle heltal n ≥ 1.
Svar:
Det første skridt :Det vil blive vist, at n = (1) er korrekt
S1 = 1 = 12
Andet trin
Antag, at n = (k) er sand, altså
1 + 3 + 5 +7 + ... + 2 (k) -1 = k2
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k 2
Tredje trin
Bevis at n = (k + 1) er sandt
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
husk at 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k2
derefter
k2 + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
k2 + 2k + 1 = (k + 1) 2
(k + 1) 2 = (k + 1) 2
så er ovenstående ligning bevist
Eksempel 3
Bevis det 1 + 3 + 5 +… + (2n - 1) = n2 sandt, for hver n naturlige tal
Svar:
Det første skridt :
Det vil blive vist, at n = (1) er korrekt
1 = 12
Så P (1) er korrekt
Andet trin:
Antag, at n = (k) er sand, dvs.
1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) = k2, k ∈ N.
Tredje trin:
Det vil blive vist, at n = (k + 1) også er sand, dvs.
1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
Fra antagelserne:1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2
Tilføj begge sider med uk + 1 :
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + (2 (k + 1) - 1)
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + 2k +1
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
Så n = (k + 1) er også sandt
Division
Eksempel 4
Bevis at n3 + 2n kan deles med 3 for hvert n naturlige tal
Svar:
Det første skridt:
Det vil blive vist, at n = (1) er korrekt
13 + 2.1 = 3 = 3.1
Så n = (1) er korrekt
Læs også: Forståelse og egenskaber ved kommunistisk ideologi + eksemplerAndet trin:
Antag, at n = (k) er sand, dvs.
k3 + 2k = 3m, k ∈ NN
Tredje trin:
Det vil blive vist, at n = (k + 1) også er sand, dvs.
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, p ∈ ZZ
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3 m + 3 (k2 + k + 1)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3 (m + k2 + k + 1)
Da m er et heltal og k er et naturligt tal, er (m + k2 + k + 1) et heltal.
Antag at p = (m + k2 + k + 1), derefter
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, hvor p ∈ ZZ
Så n = (k + 1) er korrekt
Ulighed
Eksempel 5
Bevis, at for alle naturlige tal er n ≥ 2 gyldig
3n> 1 + 2n
Svar:
Det første skridt:
Det vil blive vist, at n = (2) er korrekt
32 = 9 > 1 + 2.2 = 5
Så P (1) er korrekt
Andet trin:
Antag, at n = (k) er sand, dvs.
3k> 1 + 2k, k ≥ 2
Tredje trin:
Det vil blive vist, at n = (k + 1) også er sand, dvs.
3k + 1> 1 + 2 (k + 1)
3k + 1 = 3 (3k)3k + 1> 3 (1 + 2k) (fordi 3k> 1 + 2k)
3k + 1 = 3 + 6k
3k + 1> 3 + 2k (fordi 6k> 2k)
3k + 1 = 1 + 2k + 2
3k + 1 = 1 + 2 (k + 1)
Så n = (k + 1) er også sandt
Eksempel 6
Bevis, at for alle naturlige tal er n ≥ 4 gyldig
(n + 1)! > 3n
Svar:
Det første skridt:
Det vil blive vist, at n = (4) er korrekt
(4 + 1)! > 34
venstre side: 5! = 5.4.3.2.1 = 120
højre side: 34 = 81
Så n = (4) er korrekt
Andet trin:
Antag, at n = (k) er sand, dvs.
(k + 1)! > 3k, k ≥ 4
Tredje trin:
Det vil blive vist, at n = (k + 1) også er sand, dvs.
(k + 1 + 1)! > 3k + 1
(k + 1 + 1)! = (k + 2)!(k + 1 + 1)! = (k + 2) (k + 1)!
(k + 1 + 1)! > (k + 2) (3k) (fordi (k + 1)!> 3k)
(k + 1 + 1)! > 3 (3k) (fordi k + 2> 3)
(k + 1 + 1)! = 3k + 1
Så n = (k + 1) er også sandt
