Delvis integrerede, substitutions-, ubestemte og trigonometriske formler

Vi vil studere integralformlerne i form af delvise integraler, substitution, ubestemt og trigonometri i nedenstående diskussion. Lyt godt efter!

Integral er en form for matematisk operation, der er den inverse eller inverse af den afledte og begrænser operationer for et bestemt antal eller område. Derefter også delt i to, nemlig ubestemt integral og bestemt integral.

En ubestemt integral henviser til definitionen af ​​et integral som det inverse (inverse) af derivatet, hvorimod et integral er defineret som summen af ​​et område afgrænset af en bestemt kurve eller ligning.

Integral bruges på forskellige områder. For eksempel i matematik og teknik anvendes integraler til at beregne volumenet af et roterende objekt og arealet på en kurve.

Inden for fysikken bruges brugen af ​​integraler til at beregne og analysere kredsløb af elektriske strømme, magnetfelter og andre.

Generel integreret formel

Antag at der er en simpel funktion axn. Funktionens integritet er

Information:

• k: koefficient
• x: variabel
• n: styrke / grad af variablen
• C: konstant

Antag at der er en funktion f (x). Hvis vi skal bestemme det område, der er afgrænset af grafen f (x), kan det bestemmes af

hvor a og b er de lodrette linjer eller arealgrænserne beregnet ud fra x-aksen. Antag at integra af f (x) er betegnet med F (x) eller hvis det er skrevet

derefter

Information:

• a, b: øvre og nedre grænser for integralet
• f (x): kurveligning
• F (x): arealet under f (x) kurven

Integrerede egenskaber

Nogle af de integrerede egenskaber er som følger:

Ubestemt integral

En ubestemt integral er det modsatte af et derivat. Du kan kalde det et anti-derivat eller antiderivativ.

Den ubestemte integral af en funktion resulterer i en ny funktion, der ikke har en fast værdi, fordi der stadig er variabler i den nye funktion. Den generelle form for integralet er selvfølgelig.

Ubestemt integreret formel:

Information:

• f (x): kurveligning
• F (x): arealet under f (x) kurven
• C: konstant

Eksempler på ubestemte integraler:

Erstatning integreret

Nogle problemer eller integraler af en funktion kan løses ved hjælp af substitutionsintegralformlen, hvis der er en multiplikation af funktionen, hvor en af ​​funktionerne er afledt af en anden funktion.

Overvej følgende eksempler:

Vi antager, at U = ½ x2 + 3 derefter dU / dx = x

Så at x dx = dU

Den integrerede ligning for substitutionen bliver

= -2 cos U + C = -2 cos (½ x2 + 3) + C.

Eksempel

lad os sige 3x2 + 9x -1 som u

så du = 6x + 9

2x + 3 = 1/3 (6x + 9) = 1/3 du

så erstatter vi u igen med 3x2 + 9x -1, så vi får svaret:

Delvis integreret

Delvis integrerede formler bruges normalt til at løse integralet af multiplikationen af ​​to funktioner. Generelt defineres delintegraler som

Information:

• U, V: funktion
• dU, dV: afledt af funktion U og afledt af funktion V

Eksempel

Hvad er resultatet af ∫ (3x + 2) sin (3x + 2) dx?

Afregning:

Eksempel

u = 3x + 2

dv = sin (3x + 2) dx

Derefter

du = 3 dx

v = ʃ sin (3x + 2) dx = - ⅓ cos (3x + 2)

Så det

∫ u dv = uv - duv du

∫ u dv = (3x + 2). (- ⅓ cos (3x + 2)) - ∫ (- ⅓ cos (3x + 2)). 3 dx

Dv u dv = - (x + 2 /₃). cos (3x + 2) + ⅓. ⅓ sin (3x + 2) + C

Dv u dv = - (x + 2 /₃). cos (3x + 2) + 1 /₉ sin (3x + 2) + C

Produktet af of (3x + 2) sin (3x + 2) dx er således - (x + 2 /₃). cos (3x + 2) + 1 /₉ sin (3x + 2) + C.

Trigonometrisk integreret

Integrerede formler kan også betjenes på trigonometriske funktioner. Driften af ​​trigonometriske integraler udføres med det samme koncept af algebraiske integraler, hvilket er det omvendte afledning. indtil det kan konkluderes, at:

Bestemmelse af kurveligningen

Gradienter og ligninger, der tangerer kurven på et punkt. Hvis y = f (x), er hældningen af ​​tangenten til kurven på et hvilket som helst punkt på kurven y '= f' (x). Derfor, hvis hældningen af ​​tangenten er kendt, kan kurveligningen bestemmes på følgende måde.

y = ʃ f '(x) dx = f (x) + c

Hvis du kender et af punkterne gennem kurven, kan du finde værdien af ​​c, så kurvens ligning kan bestemmes.

Eksempel

Hældningen af ​​tangenten til kurven ved punktet (x, y) er 2x - 7. Hvis kurven passerer gennem punktet (4, –2), skal du finde ligningen af ​​kurven.

Svar:

f '(x) = = 2x - 7

y = f (x) = ʃ (2x - 7) dx = x2 - 7x + c.

Fordi kurven gennem punktet (4, –2)

derefter: f (4) = –2 ↔ 42 - 7 (4) + c = –2

–12 + c = –2

c = 10

Så kurveligningen er y = x2 - 7x + 10.

Således diskussionen om flere integrerede formler, forhåbentlig er dette nyttigt.