Ligningen for en cirkel har den generelle form x ^ 2 + y ^ 2 + Ax + By + C = 0, som kan bruges til at bestemme radius og centrum af en cirkel.
Den cirkelligning, du lærer nedenfor, har flere former. I forskellige tilfælde kan ligningen være forskellig. Forstå det derfor godt, så du kan huske det udenad.
En cirkel er et sæt punkter, der er lige langt fra et punkt. Koordinaterne for disse punkter bestemmes ved hjælp af ligningerne. Dette bestemmes ud fra længden af radius og koordinaterne for centrum af cirklen.
Cirkelligninger
Der er forskellige slags ligheder, nemlig ligning som er dannet fra centerpunktet og radius og en ligning, der kan findes centerpunktet og radius.
Den generelle ligning for en cirkel
Der er en generel ligning som nedenfor:
At dømme ud fra ovenstående ligning kan midtpunktet og radius bestemmes, er:
Cirkelens centrum er:
I midten af P (a, b) og radius r
Fra en cirkel, hvis du kender centrum og radius, får du formlen:
Hvis du kender centrumpunktet for en cirkel og radius af cirklen, hvor (a, b) er centrum, og r er cirkelens radius.
Fra ligningen opnået ovenfor kan vi bestemme, om inkludering af punktet ligger på cirklen eller indeni eller udenfor. For at bestemme placeringen af punktet ved hjælp af punktudskiftningen på x- og y-variablerne og derefter sammenligne resultaterne med kvadratet af cirkelens radius.
Et punkt M (x1, y1) placeret:
På cirklen:
Inde i cirklen:
Uden for cirklen:
I midten O (0,0) og radius r
Hvis midtpunktet er ved O (0,0), skal du udskifte substitutionen i den foregående del, nemlig:
Fra ovenstående ligning kan det bestemmes placeringen af et punkt på cirklen.
Et punkt M (x1, y1) placeret:
På cirklen:
Inde i cirklen:
Uden for cirklen: Læs også: Art Is: Definition, Funktion, Typer og eksempler [FULD]
Den generelle form for ligningen kan udtrykkes i følgende former.
(x - a) 2 + (y - b) 2 = r2, eller
X2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0, eller
X2 + y2 + Px + Qy + S = 0, hvor P = -2a, Q = -2b og S = a2 + b2 - r2
Skæringspunktet mellem linjer og cirkler
En cirkel med ligningen x2 + y2 + Ax + By + C = 0 kan bestemmes, om en linje h med ligningen y = mx + n ikke berører, fornærmer eller skærer den ved hjælp af det diskriminerende princip.
……. (ligning 1)
…… .. (ligning 2)
Ved at erstatte ligning 2 med ligning 1 får du en kvadratisk ligning, nemlig:
Fra den kvadratiske ligning ovenfor kan det ved at sammenligne de diskriminerende værdier ses, om linjen ikke fornærmer / skærer, fornærmer eller skærer cirklen.
Linjen h skærer / fornærmer ikke cirklen, så D <0
H-linien er tangent til cirklen, så D = 0
H-linjen skærer cirklen, så D> 0
Ligninger af tangenter til cirkler
1. Ligning af tangenter gennem et punkt på cirklen
Tangenter til en cirkel møder nøjagtigt et punkt på cirklen. Fra skæringspunktet mellem tangenten og cirklen kan ligningen af tangentlinjen bestemmes.
Ligningen for tangenten til cirklen, der passerer gennem punktet P (x1, y1), kan bestemmes, nemlig:
- Form
Ligningen af tangenten
- Form
Ligningen af tangenten
- Form
Ligningen af tangenten
Problemer eksempel:
Ligningen for tangenten gennem punktet (-1,1) på cirklen
er:
Svar:
Kend ligningen for cirklen
hvor A = -4, B = 6 og C = -12 og x1 = -1, y1 = 1
PGS er
Så ligningen af tangenten er
2. Ligningen tangerer til gradienten
Hvis en linje med hældning m er tangent til en cirkel,
så er ligningen af tangenten:
Hvis det er en cirkel,
derefter ligningen af tangenten:
Hvis det er en cirkel,
derefter ligningen af tangenten ved at erstatte r med,
så det:
eller
3. Ligninger af tangenter til punkter uden for cirklen
Fra et punkt uden for cirklen kan to tangenter til cirklen tegnes.
Læs også: Demokrati: Definition, historie og typer [FULD]For at finde tangentligningen anvendes den formelle ligningsligningsformel, nemlig:
Fra denne formel er værdien af linjens hældning imidlertid ikke kendt. For at finde linjens hældning skal du erstatte ligningen med cirkel ligningen. Fordi linjen er en tangent, vil resultatet fra ligningen resultere i substitutionen af værdien D = 0, og værdien af m opnås
Eksempler på problemer
Eksempel Opgave 1
En cirkel har et centerpunkt (2, 3) og er 8 cm i diameter. Ligningen af cirklen er ...
Diskussion:
Fordi d = 8 betyder r = 8/2 = 4, så er ligningen for den dannede cirkel
(x - 2) ² + (y - 3) ² = 42
x² - 4x + 4 + y² -6y + 9 = 16
x² + y² - 4x - 6y - 3 = 0
Eksempel Opgave 2
Bestem den generelle ligning for cirklen centreret ved punkt (5,1) og stødende linje 3x– 4y+ 4 = 0!
Diskussion:
Hvis du kender centrum af cirklen (-en,b) = (5,1) og tangenten til cirklen 3x– 4y+ 4 = 0, så er radius af cirklen formuleret som følger.
Således er den generelle ligning for cirklen som følger.
Således er den generelle ligning for en cirkel centreret ved punkt (5,1) og stødende linje 3x– 4y+ 4 = 0 er
Eksempel Opgave 3
Find den generelle ligning for en cirkel centreret ved (-3,4) og fornærmende Y-aksen!
Diskussion:
Lad os først og fremmest tegne grafen for cirklen, som er centreret ved (-3,4) og fornærmer Y-aksen!
Baseret på billedet ovenfor kan det ses, at centrum af cirklen er ved koordinat (-3,4) med en radius på 3, således at:
Således er den generelle ligning, der er centreret ved (-3,4) og fornærmer Y-aksen
I nogle tilfælde er cirkelens radius ikke kendt, men tangenten er kendt. Så hvordan man bestemmer cirkelens radius? Se på følgende billede.
Ovenstående billede viser, at linjen er tangent til ligningen px+ qy+ r= 0 fornærmer cirklen centreret ved C (a, b). Radius kan bestemmes af følgende ligning.a, b). Radius kan bestemmes af følgende ligning.
Kan være nyttigt.
