Kompositionsfunktioner: Grundlæggende begreber, formler og eksempler

Sammensætningsfunktion er kombinationen af ​​en operation af to typer funktioner f (x) og g (x), så den kan producere en ny funktion.

Sammensætningsfunktionsformler

Symbolet for kompositionsfunktionens funktion er med "o", så kan det læses enten komposition eller cirkel. Denne nye funktion kan dannes ud fra f (x) og g (x), nemlig:

1. (f o g) (x), hvilket betyder at g indtastes f
2. (g o f) (x), hvilket betyder at f indsættes i g

I kompositionen er funktionen også kendt som en enkelt funktion.

Hvad er en enkelt funktion?

En enkelt funktion er en funktion, der kan betegnes med bogstavet "f o g" eller kan læses "f afrundet g". Funktionen "f o g" er funktionen g, der udføres først derefter efterfulgt af f.

I mellemtiden skal du læse funktionen g rundkørsel for funktionen "g o f". Således er "g o f" en funktion, hvor f udføres først i stedet for g.

Derefter er funktionen (f o g) (x) = f (g (x)) → funktion g (x) sammensat som en funktion f (x)

For at forstå denne funktion skal du overveje billedet nedenfor:

Fra formelskemaet ovenfor er den definition, vi har:

Hvis f: A → B bestemt ved formlen y = f (x)

Hvis g: B → C bestemt ved formlen y = g (x)

Derefter får vi et resultat af funktionerne g og f:

h (x) = (gof) (x) = g (f (x))

Fra ovenstående definition kan vi konkludere, at funktioner, der involverer funktionerne f og g, kan skrives:

• (g o f) (x) = g (f (x))
• (f o g) (x) = f (g (x))

Egenskaber ved sammensætningsfunktion

Der er flere egenskaber til sammensætningsfunktionen, som er beskrevet nedenfor.

Hvis f: A → B, g: B → C, h: C → D, så:

1. (f o g) (x) ≠ (g o f) (x). Kommutativ karakter gælder ikke
2. [f o (g o h) (x)] = [(f o g) o h (x)]. er associerende
3. Hvis identitetsfunktionen I (x), derefter (f o l) (x) = (l o f) (x) = f (x)

Eksempler på problemer

Opgave 1

Får to funktioner hver f (x) og g (x) henholdsvis, nemlig:

f (x) = 3x + 2

g (x) = 2 - x

Bestemme:

a) (f o g) (x)

b) (g o f) (x)

Svar

Er kendt:

f (x) = 3x + 2

g (x) = 2 - x

(f o g) (x)

"Indtast det g (x) tilf (x) "

indtil det bliver:

(f o g) (x) = f ( g(x))

= f (2 - x)

= 3 (2 - x) + 2

= 6 - 3x + 2

= - 3x + 8

(g o f ) (x)

"Indtast det f (x) til g (x) "

Indtil det bliver:

(f o g) (x) = g (f (x))

= g (3x + 2)

= 2 - (3x + 2)

= 2 - 3x - 2

= - 3x

Opgave 2

Hvis vi ved, at f (x) = 3x + 4 og g (x) = 3x, hvad er værdien af ​​(f o g) (2).

Svar:

(f o g) (x) = f (g (x))

= 3 (3x) + 4

= 9x + 4

(f o g) (2) = 9 (2) + 4

= 22

Opgave 3

Kendt funktion f (x) = 3x - 1 og g (x) = 2 × 2 + 3. Værdien af ​​funktionssammensætningen ( g o f )(1) =….?

Svar

Er kendt:

f (x) = 3x - 1 og g (x) = 2 × 2 + 3

( g o f )(1) =…?

Sæt f (x) i g (x), fyld derefter med 1

(g o f) (x) = 2 (3 x - 1) 2 + 3

(g o f) (x) = 2 (9 x 2 - 6x + 1) + 3

(g o f) (x) = 18x 2 - 12x + 2 + 3

(g o f) (x) = 18 × 2 - 12x + 5

(g o f) (1) = 18 (1) 2 − 12(1) + 5 = 11

Opgave 4

Det gives to funktioner:

f (x) = 2x - 3

g (x) = x2 + 2x + 3

Hvis (f o g) (a) er 33, skal du finde værdien på 5a

Svar:

Find først (f o g) (x)

(f o g) (x) er lig med 2 (x2 + 2x + 3) - 3

(f o g) (x) er lig med 2 × 2 4x + 6 - 3

(f o g) (x) er lig med 2 × 2 4x + 3

33 er det samme som 2a2 4a + 3

2a2 4a - 30 er lig med 0

a2 + 2a - 15 er lig med 0

Faktor:

(a + 5) (a - 3) er lig med 0

a = - 5 eller lig med 3

Til

5a = 5 (−5) = −25 eller 5a = 5 (3) = 15

Opgave 5

Hvis (f o g) (x) = x² + 3x + 4 og g (x) = 4x - 5. Hvad er værdien af ​​f (3)?

Svar:

(f o g) (x) er lig med x² + 3x + 4

f (g (x)) er lig med x² + 3x + 4

g (x) er lig med 3 Så,

4x - 5 er lig med 3

4x er lig med 8

x er lig med 2

f (g (x)) = x² + 3x + 4 og for g (x) lig med 3 får vi x lig med 2

Indtil: f (3) = 2² + 3. 2 + 4 = 4 + 6 + 4 = 14

Dette er forklaringen på kompositionsfunktionsformlen og et eksempel på problemet. Kan være nyttigt.