Kvadratiske ligninger (FULL): Definition, formler, eksempelproblemer

kvadratisk ligning

Kvadratisk ligning er en af ​​de matematiske ligninger for den variabel, der har den højeste effekt på to.

Den generelle form for en kvadratisk ligning eller PK er som følger:

økse2 + bx + c = 0

med x er en variabel, -en, b er koefficienten, og c er en konstant. Værdien af ​​a er ikke lig med nul.

Grafformer

Hvis en kvadratisk ligning er beskrevet i form af kartesiske koordinater (x, y), vil den danne en parabolsk graf. Derfor betegnes kvadratiske ligninger ofte som parabolisk ligning.

Det følgende er et eksempel på formen på denne ligning i form af en parabolsk graf.

graf over kvadratiske ligninger

I den generaliserede ligning af værdi -en, bog c påvirker i høj grad det resulterende parabolske mønster.

Score -en bestem parabelens konkave eller konvekse kurve. Hvis værdien er fra a> 0, så vil parabolen gøre det åben opad (konkav). Ellers hvis a <0, så vil parabolen gøre det nedad åben (konveks).

Score b på ligningen bestemmer parabollens øverste position. Med andre ord er bestemmelse af værdien for kurvens symmetriakse lig med x =-b/2a.

Konstant værdi c på grafen bestemmer ligningen skæringspunktet mellem parabelfunktionen og y-aksen. Følgende er en parabolsk graf med ændringer i konstante værdier c.

Rødderne i den kvadratiske ligning (PK)

Løsningen på den kvadratiske ligning kaldes akar-roden til den kvadratiske ligning.

Forskellige PK-rødder

De slags rødder PK kan let findes ved hjælp af den generelle formel D = b2 - 4ac fra den generelle ligning for den kvadratiske ax2 + bx + c = 0.

Følgende er de slags rødder af kvadratiske ligninger.

1. Rigtig rod (D> 0)

Hvis værdien af ​​D> 0 fra en PK, vil den producere ægte ligningsrødder, men har forskellige rødder. Med andre ord er x1 ikke det samme som x2.

Eksempel på den virkelige rodligning (D> 0)

Find rodtypen for ligningen x2 + 4x + 2 = 0.

Afregning:

a = 1; b = 4; og c = 2

D = b2 - 4ac

D = 42 - 4 (1) (2)

D = 16 - 8

D = 8

Så da værdien af ​​D> 0 er roden af ​​typen reel rod.

2. Virkelig rod er lig med x1 = x2 (D = 0)

Det er en rodtype i en kvadratisk ligning, der producerer rødder med samme værdi (x1 = x2).

Eksempel på ægte rødder (D = 0)

Find PK-rodværdien på 2x2 + 4x + 2 = 0.

Læs også: Typer af vandcykler (+ fuldt billede og forklaring)

Afregning:

a = 2; b = 4; c = 2

D = b2 - 4ac

D = 42 - 4 (2) (2)

D = 16 - 16

D = 0

Så fordi værdien af ​​D = 0, er det bevist, at rødderne er reelle og tvillede.

3. Imaginære rødder / ikke rigtige (D <0)

Hvis værdien af ​​D <0, så er roden til den kvadratiske ligning imaginær / ikke reel.

Eksempel på imaginære rødder (D <0) /

Find rodtypen for ligningen x2 + 2x + 4 = 0.

Afregning:

a = 1; b = 2; c = 4

D = b2 - 4ac

D = 22 - 4 (1) (4)

D = 4 - 16

D = -12

Så da værdien af ​​D <0, er ligningens rod en uvirkelig eller imaginær rod.

Find rødderne i den kvadratiske ligning

Der er flere metoder, der kan bruges til at finde rødderne til en kvadratisk ligning. Blandt dem er faktorisering, perfekte firkanter og anvendelse af formlen abc.

I det følgende beskrives flere metoder til at finde ligningsrødder.

1. Faktorisering

Faktorisering / factoring er en metode til at finde rødder med på udkig efter en værdi, der, hvis den multipliceres, vil producere en anden værdi.

Der er tre former for kvadratiske ligninger (PK) med forskellige rodfaktoriseringer, nemlig:

Ingen.LigningsformRoot-root-faktorisering
1x2 + 2xy + y2 = 0(x + y)2 = 0
2x2 - 2xy + y2 = 0(x - y)2 = 0
3x2 - y2 = 0(x + y) (x - y) = 0

Det følgende er et eksempel på et problem med anvendelse af faktoriseringsmetoden i kvadratiske ligninger.

Løs 5x kvadratisk ligning2+ 13x + 6 = 0 ved hjælp af faktoriseringsmetoden.

Afregning:

5x2 + 13x = 6 = 0

5x2 + 10x + 3x + 6 = 0

5x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0

(5x + 3) (x + 2) = 0

5x = -3 eller x = -2

Så resultatet af løsningen er x = -3/5 eller x = -2

2. Perfekte firkanter

Form perfekte firkanter er en form for kvadratisk ligning, som er giver et rationelt tal.

Resultaterne af en perfekt kvadratisk ligning bruger generelt følgende formel:

(x + p) 2 = x2 + 2px + p2

Den generelle løsning på den perfekte kvadratiske ligning er som følger:

(x + p) 2 = x2 + 2px + p2

med (x + p) 2 = q, derefter:

(x + p) 2 = q

x + p = ± q

x = -p ± q

Det følgende er et eksempel på et problem ved brug af den perfekte ligningsmetode.

Løs ligningen x2 + 6x + 5 = 0 ved hjælp af den perfekte kvadratiske ligningsmetode!

Afregning:

x2 + 6x +5 = 0

x2 + 6x = -5

Det næste trin, nemlig tilføj et nummer i højre og venstre segment, så de kan skifte til en perfekt firkant.

x2 + 6x + 9 = -5 + 9

x2 + 6x + 9 = 4

(x + 3) 2 = 4

(x + 3) = √4

x = 3 ± 2

Så det endelige resultat er x = -1 eller x = -5

Læs også: Definition og forskel på homonymer, homofoner og homografer

3. ABC kvadratiske formler

Abc-formlen er et alternativt valg, når den kvadratiske ligning ikke kan løses ved faktorisering eller perfekte kvadratiske metoder.

Her er formelformlen a B C i den kvadratiske ligning ax2 + bx + c = 0.

rødderne til den kvadratiske ligning

Følgende er et eksempel på løsning af et kvadratisk ligningsproblem ved hjælp af en formel a B C.

Løs ligningen x2 + 4x - 12 = 0 ved hjælp af metoden abc formel!

Afregning:

x2 + 4x - 12 = 0

hvor a = 1, b = 4, c = -12

Konstruktion af en ny kvadratisk ligning

Hvis vi tidligere har lært at finde ligningens rødder, så lærer vi nu at komponere den kvadratiske ligning ud fra de rødder, der tidligere har været kendt.

Her er et par måder, du kan opbygge en ny PK på.

1.Konstruer ligningen, når du kender rødderne

Hvis en ligning har rødder x1 og x2, kan ligningen for disse rødder udtrykkes i form af

(x- x1) (x- x2)=0

Eksempel:

Find en kvadratisk ligning, hvor rødderne er mellem -2 og 3.

Afregning:

x1 = -2 og x2=3

(x - (- 2)) (x-3) = 0

(x + 2) (x + 3)

x2-3x + 2x-6 = 0

x2-x-6 = 0

Så resultatet af ligningen for disse rødder er x2-x-6 = 0

2.Konstruer en kvadratisk ligning, når du kender summen og produktet af rødderne

Hvis rødderne til den kvadratiske ligning med antallet og gange x1 og x2 er kendte, kan den kvadratiske ligning konverteres til følgende form.

x2- (x1+ x2) x + (x1.x2)=0

Eksempel:

Find en kvadratisk ligning med rødderne 3 og 1/2.

Afregning:

x1= 3 og x2= -1/2

x1+ x2=3 -1/2 =6/2 – 1/2 = 5/2

x1.x2 = 3 (-1/2) = -3/2

Den kvadratiske ligning er således:

x2- (x1+ x2) x + (x1.x2)=0

x2– 5/2 x - 3/2 = 0 (hver side ganges med 2)

2x2-5x-3 = 0

Så den kvadratiske ligning for rødderne 3 og 1/2 er 2x2-5x-3 = 0.

Seneste indlæg

$config[zx-auto] not found$config[zx-overlay] not found